Как связать из меха шапочку

В пространстве, где введена прямоугольная система координат, пусть задана материальная точка  с массой . Статическим моментом этой точки относительно плоскости  называется произведение , и обозначается символом

.

Статический момент относительно плоскости  конечной системы материальных точек  с массами  определяется равенством

.

Наконец, если масса распределена по некоторому множеству , то статический момент тела  относительно плоскости  определяется как интеграл,

,

где  - плотность распределения массы.

Центр тяжести  тела  имеет координаты  определяемые равенствами

.

В частности, если  и  есть криволинейная трапеция в плоскости  ограниченная сверху графиком функции  и снизу осью , равномерно заполненная массами с плотностью , то (рис.57)

.

Рис. 57

Ведь .

Отсюда

.                                       (1)

В правой части (1) стоит объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции  около оси .

Таким образом, мы получили известную теорему Гюльдина: объем тела вращения криволинейной трапеции  равен ее площади, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс (тяжести) этой трапеции около оси .

Если  есть однородная  кривая , то

,

где  - длина кривой в пределах  - элемент длины дуги. Так как , то

или

.                            (2)

В правой части (2) стоит площадь поверхности вращения кривой  около оси . Таким образом, равенство (2) дает другую теорему Гюльдина: площадь поверхности вращения кривой , равна длине ее дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром масс этой дуги около оси .

Теоремы Гюльдина позволяют по двум известным величинам находить третью. Например, если известны координаты центра тяжести и объем тела вращения, то можно определить площадь криволинейной трапеции и т. д.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести криволинейной трапеции  (рис. 58).

Рис. 58

Пусть  - центр тяжести. В силу симметрии ясно, что  (мы считаем ). Найдем площадь трапеции :

.

Объем тела, полученного от вращения  около оси  равен

                                                .

На основании первой теоремы Гюльдина

.

Пример 2. Найти объем тела, полученного от вращения круга  с центром в точке , радиуса , около оси  (рис. 59).

Ясно, что центр тяжести круга (однородного) совпадает с его геометрическим центром, т. е. . Площадь круга . Поэтому по первой теореме Гюльдина

.

Пример 3. Найти площадь поверхности тела вращения, рассмотренного в примере 2.

Данную поверхность можно рассматривать как поверхность, полученную от вращения окружности  около оси . Длина этой окружности равна . Поэтому по второй теореме Гюльдина

(центр тяжести однородной окружности также совпадает с центром  этой окружности).

Рис.59                                                Рис.60

Пример 4. Найти центр тяжести однородного  полукруга ; полуокружности .

Известно, что объем шара радиуса  равен , а площадь поверхности шара равна . По формуле (1) получаем (рис. 60)

,

где  - ордината центра тяжести полукруга.

По формуле (2) для ординаты  центра тяжести полуокружности имеем

.

Моменты. Моментом -го порядка  материальной точки  с массой  относительно плоскости  называется произведение

,

Если массы распределены по измеримому множеству  с плотностью , то

.

Если , то соответствующий момент второго порядка называется моментом инерции.

Кроме того, можно рассматривать моменты -го порядка тела  относительно начала координат

;

относительно оси . Например, момент -го порядка относительно оси  запишется

.

 


Источник: http://sernam.ru/lect_math3.php?id=58


Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Лак для ногтей DIVAGE UV Gel Lux Отзывы покупателей Картинки аниме новые раскраска

Как связать из меха шапочку Афоризмы Козьмы Пруткова
Как связать из меха шапочку Поведение женатого мужчины после сорока лет
Как связать из меха шапочку Бородавки - лечение подошвенных бородавок народными
Как связать из меха шапочку Сонник Секс, к чему снится Секс во сне видеть
Как связать из меха шапочку Статус беженца: как получить и что он дает / Православие. Ru
50 идей, как накрасить карие глаза Ночная коррекция зрения для вас и ваших детей Система Главбух. Версия для коммерческих Точка на плоскости: Гид по дотворку особенной технике ХВАСТУШКИ Записи в рубрике ХВАСТУШКИ